لاتباين وتباين مرافق وتباين معاكس

لاتباين و تباين مرافق و تباين معاكس ( Invariance ، Covariance ، and Contravariance ) ثلاثة مفاهيم مترابطة تظهر سوية في العديد من الحقول بدأ من الإحصاء و الاحتمال إلى فروع الفيزياء و غيرها . لذلك يشكل تكوين فكرة واضحة حول هذه المصطلحات اهمية للعديد من هذه العلوم .

مقدمة

لنفترض وجود حوض مائي مملوء بالماء و لنعرف جملة احداثيات متعامدة (س,ع,ص) أو (x,y,z) نستطيع من خلالها تحديد كل نقطة من نقاط الحوض المائي :

نستطيع الآن أن نحدد درجة الحرارة في كل نقطة من الوسط المائي عن طريق دالة رياضية : (x,y,z) T ، تقوم هذه الدالة بربط عدد حقيقي يمثل درجة الحرارة بالنقطة المحددة بالإحداثيات (x,y,z) .

لنفترض الآن أننا قررنا استخدام جملة احداثيات قطبية (r,phi,theta) بدلا من جملة الاحداثيات الديكارتية (x,y,z) : في الحقيقة تمثل هذه الإحداثيات الجديدة القطبية تمثل دوال تتبع الاحداثيات الديكارتية القديمة أي أن هناك علاقات تمكننا من استنتاج الاحداثيات الجديدة القطبية بدءا من الاحداثيات الديكارتية  : نمثل هذه العلاقات او الدوال كما يلي : r(x,y,z) و phi(x,y,z) و theta(x,y,z) .

من الواضخ أن درجة الحرارة هي قيمة لامتباينة invariant أي أنها غير متغيرة بتغير جملة الإحداثيات التي ينسب لها الوسط المائي . فاذا كانت النقطة (x,y,z) تمثل في النظام الإحداثي القطبي (r,phi,theta) فإن :

(T (x,y,z) = T (r,phi,theta

و هذا أمر منطقي حيث ان r و phi و theta هي دوال ل x و y و z .

لنفترض أننا قمنا بتحديد تدرج درجة الحرارة عند كل نقطة و هو ما سنرمزه : ج (س,ع,ص) أي G(x,y,z) و هو عبارة عن شعاع ( متجه ) vector موجود في كل نقطة (x,y,z) و يتجدد يثلاث مركبات شعاعية :

G_1(x,y,z) = dT/dx

G_2(x,y,z) = dT/dy

G_3(x,y,z) = dT/dz

أي انها مشتقات جزئية لتابع الحرارة .

لنفترض أننا نريد القيام بتحويل التدرج إلى الاحداثيات القطبية . اذا كان التدرج لامتباينا ( لامتغيرا ) بالنسبة للتغيرات الإحداثية فمن المتوقع ان تكون مركباته غير متباينة أيضا في أي نقطة أيضا .

أي أننا نتوقع ببساطة وجود علاقة :

(G_i(r,theta,phi) = G_i(x,y,z

حيث : i = 1 ،2 ،3 و عندما يتم التحويل باستخدام قواعد التحويل : r(x,y,z) و phi(x,y,z) و theta(x,y,z) .

لكن هذا لا يتعدى كونه توقع لا يمثل الواقع : لأن مركبات تدرج الحرارة بالنسبة للإحداثيات القطبية :

G_1(r,theta,phi) = dT /d r

G_2(r,theta,phi) = dT /d theta

G_3(r,theta,phi) = dT /d phi

فهي اذا تمثل مشتقات تابع الحرارة بالنسبة للإحداثيات القطبية ، و ليس بانسبة للإحداثيات الديكارتية .

لذلك نفول أن مكونات شعاع التدرج الخراري في أي نقطة تعتمد على نظام الإحداثيات المعتمد ، لكن لحسن الحظ تبقى هناك من علاقة تربط مكونات التدرج الحراري بالنسبة للإحداثيات القطبية مع مكونات التدرج الحراري بالنسبة للإحداثيات الديكارتية بعد أخذ مشتقات التوابع التي تربط نوعي الإحداثيات بعين الإعتبار :

dx dy dz G_1(r,theta,phi) = -- G_1(x,y,z) + -- G_2(x,y,z) + -- G_3(x,y,z) dr dr dr