الرئيسيةبحث

تلوين مخطط بثلاثة ألوان

مسألة NP كاملة
زمرة كبرى
مسار هاملتونياني
عدل

تلوين المخطط باستعمال ثلاثة ألوان هي مسألة مشتقة من المسألة العامة تلوين مخطط و تتم باستعمال ثلاثة ألوان فقط، و رغم ذلك فهي مسألة NP كاملة.

تلوين مخطط بثلاثة ألوان مسألة كاملة

انطلاقا من SAT نحصل على مخطط عادي غير موجه، حيث يكون للصيغة حل إذا و فقط إذا كان هناك تلوين بثلاثة ألوان فقط. بعبارة أوضح حل SAT يحل مشكلة التلوين و حل مشكلة التلوين تحل SAT.

الاختصار

gadjet 3COL
gadjet 3COL

يتم من SAT لكل صيغة نربطها بمخطط عادي غير موجه، طريقة إنشائه كما يلي:

  1. لكل متغيرين متقابلين x \, و \lnot x نرسم قمتين مرتبطتين، U_x \, خاصة ب x \, و U_{\lnot x} خاصة ب \lnot x.
  2. لكل رمز \lor (أول رمز)، نرسم مثلث قممه A1 و B1 و C1. و تسمى A رأس المثلث.
    1. في حالة وجود x \, نربط القمة U_x \, بB. أما في حالة وجود \lnot x نربط القمة U_{\lnot x} بB.
    2. بالنسبة للمتغير الثاني في الصيغة clause يتم ربط القمة التي تمثله بِC بنفس طريقة الربط مع B.
  3. لكل رمز \lor موالي(انطلاقا من ثاني رمز)، نرسم مثلث قممه A2 و B2 و C2. نربط A1 ب B2. و C2 بتمثيل المتغير الثالث.
  4. المثلث الأخير و الذي يرمز لآخر رمز في الصيغة clause نسمي رأسه A برأس العبارة.
  5. في الأخير نضيف قمتين مرتبطتين الأولى محايدة N و الثانية منعدمة Z:
    1. القمة N مرتبطة برؤوس المثلثات و بالقمم التي تمثل المتغيرات.
    2. القمة Z مرتبطة برؤوس العبارات.

الآن نستعمل للتلوين الأعداد 0 و 1 و 2، القمة N تلون ب2 و القمة z تلون ب3، هذا سيؤدي لتلوين جميع رؤوس العبارات باللون 1. و بعد انتهاء عملية التلوين، بالنسبة للصيغة نعطي للمتغير x \, القيمة 1 في حالة كانت القمة U_x \, ملونة باللون 1، بينما يأخد القيمة 0 في حالة كانت القمة U_x \, ملونة باللون 0.