تشعب (رياضيات)

التشعب في الرياضيات أو ما يسمى بالبايفوركايشن bifurcation هي التغير النوعي في سلوك نظام ديناميكي ما نتيجة تغيير أحد معاملاته parameter. مثال فزيائي على هذا السلوك هو مثلا عندما تضغط على قطعة خشبية في منتصفها و تعتبر القوة التي تضغط بها هي المعامل فترى أن الخشبة تتقوس و تغير شكلها إلى أن تصل القوة إلى قيمة معينة تسمى قيمة التشعب bifurcation value يتغير عندها سلوك الخشبة فتكسر. و تسمى النقطة التي يظهر فيها هذا السلوك أي في مثالنا نقطة تكسر الخشبة تسمى نقطة التشعب bifurcation point. و يتم عادة رسم هذا السلوك في مخطط يسمى مخطط التشعب bifurcation diagramm. أما طريقة حساب مكان ظهور هذا التغير في السلوك فهي مبينة أسفله. و توجد العديد من الأنواع من التشعب أهمها:

تفرع عقدة سرج saddel node
تفرع حرج متعدي transcritical
تفرع فرشاتي pitchfork
تفرع هوبف Hopf bifurcation

إذا اعتبنار المعادلة التفاضلية التالية:
$\dot{x}=f(x,\mu)$
فإن النقطة التي يحدث فيها تغير نوعي في سلوك هذا النظام الديناميكي أو ما يعبر عنه رياضيا بمصطلح نقطة التشعب هي أولا نقطة توازن equilibrium point و ثانيا نقطة يصير فيها تخطيط النظام أي مصفوفة جاكوبي التابعة له صفرا (في حالة تشعب في ال $R 1$ ) أو تحتوي على قيمة ذاتية ذات جزئ حقيقي يساوي صفرا(في حالة تشعب في ال $R 2$ ). أي رياضياتيا:
$f (x) = 0$
و
$\frac{\partial f}{\partial x}=0$

إذا لم يمكن إيجاد مثل هذه النقطة أو النقاط فإن النظام لا يحتوي على تشعب.

مخطط التشعب هو رسم لنقاط التوازن أو الإستقرار التي يحتلها النظام حسب قيمة المعامل

تشعب في ال $R 1$

يمكن إعتبار أنواع التشعبات التالية أهم التشعبات في ال $R 1$ :

تشعب عقدة سرج saddel node bifurcation
تشعب حرج متعدي transcritical bifurcation
تشعب فرشاتي pitchforck bifurcation

تشعب عقدة سرج

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

$\dot{x}=\mu - x^{2}+...+HOT$

حيث Hot إختصار ل Higher Order Terms و عامة يمكن قول أن النظام

$\dot{x}=f(x,\mu)$
حيث
$f (x 0,μ 0) = 0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب عقدة سرج إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu}|_{x_{0}} \neq 0$

$f_{xx}| \neq 0$

تشعب حرج متعدي

يكون الشكل العام لمعادلة التشعب الحرج المتعدي كالآتي:

$\dot{x}=\mu x - x^{2}+...+HOT$

و عامة يمكن قول أن النظام

$\dot{x}=f(x,\mu)$
حيث
$f (x 0,μ 0) = 0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب متعدي حرج إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu}|_{x_{0}}=0$

$f_{xx}|_{x_{0}} \neq 0$
$f_{x\mu}|_{x_{0}} \neq 0$

تشعب فرشاتي

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

$\dot{x}=\mu x -x^{3}+...+HOT$ و عامة يمكن قول أن النظام

$\dot{x}=f(x,\mu)$
حيث
$f (x 0,μ 0) = 0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب فرشاتي إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu}|_{x_{0}}=0$

$f_{xx}|_{x_{0}}=0$
$f_{x\mu}|_{x_{0}} \neq 0$
$f_{xxx}|_{x_{0}} \neq 0$

تشعب في ال $R 2$ تشعب هوبف

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

$\dot{x_{1}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\mu)$ $\dot{x_{2}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\mu)$

حيث

$f 1 = f 2 = 0$

$f_{x}|_{0}= \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix}$

و إذا قمنا بحساب القيم التالية:

تشعب في ال $R n$

تعتبر دراسة التشعبات في ال $R n$ أصعب من الحالات المذكورة أعلاه إلا أنه إذا في بعض الحالات يمكن إرجاع نظام ما ينتمي إلى $R n$ إلى نظام ينتمي إلى ال $R 1$ أو ال $R 2$ باستعمال نظرية متعدد الفروع الوسطي center manifold theory حيث يمكن إختزال النظام المعقد في نظام ذا أبعاد أصغر و من ثم دراسة التشعب على متعدد الفروع الوسطي center manifold . أي باختصار إرجاع هذه الحالة إلى الحالات المذكورة أعلاه

وصلات خارجية

http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/nldyn.htm