انحدار خطي

تحليل الانحدار الخطي البسيط

يعتبر الانحدار الخطي البسيط من الأساليب الإحصائية التي تستخدم في قياس العلاقة بين متغيرين على هيئة علاقة دالة، يسمى أحد المتغيرات (متغير تابع) والآخر (متغير مستقل أو مُفسِر) وهو المتسبب في تغير المتغير التابع، والانحدار الخطي كأداة للقياس لا تُحدد أي المتغيرات يكون تابع أو مستقل إنما يلجأ الباحث إلى النظرية الاقتصادية في تحديد المتغيرات، مثال : تفسير ظاهرة الاستهلاك بالدخل ( مع ثبات العوامل الأخرى) فالنظرية الاقتصادية تقول أن استهلاك الفرد مرتبط بالدخل. وبالتالي فالباحث يسعى إلى إعطاء شكل للعلاقة بين المتغيرات الاقتصادية على شكل دالة :

حيث أن Y المتغير التابع (الاستهلاك)، X المتغير المستقل (الدخل) ، و F الدالة.

يمكن أن تأخذ الدالة أشكالا مختلفة قد تكون خطية ، لوغارتمية، أو أسية ... الخ، ويمكن تحويل أي نموذج إلى النموذج الخطي، سنركز على الانحدار الخطي البسيط في قياس العلاقة بين المتغيرات:

i=1,..,n

حيث أن هي معلمات النموذج و عنصر الخطأ العشوائي، تم إضافته مراعاة للصفة الإحتمالية للنموذج ويمثل الفرق بين القيم الفعلية والقيم النظرية، وبالتالي قد تكون قيمته موجبا أو سالبة وتشترط أن تكون القيمة المتوقعة تساوي صفر.

من أبرز الطرق المستعملة في تقدير معلمات النموذج طريقة المربعات الصغرى، وتنحصر خصائص المعلمات المقدرة في خمس إفتراضات :

1- الخطية 2- إنعدام القيمة المتوقعة للعنصر العشوائي. 3- التجانس 4- عدم إرتباط ذاتي بين الأخطاء العشوائية. 5- عدم ارتباط ذاتي بين المتغيرات المستقلة والأخطاء العشوائية.

تتمثل طريقة المربعات الصغرى في تقدير والتي تقلل الفرق بين القيم الفعلية والنظرية أو المقدرة والتي تحقق النهاية الصغرى للكمية : .

رياضيا يمكن تقدير قيمة كما يلي : أو

حيث أن الوسطان الحسابيان وقيمة تساوي