الرئيسيةبحث

استقرار رقمي

دراسة الإستقرار العددي لطرائق حل المعادلات هو إهتمام من إهتمامات الرياضيات العددية و هو شبيه و شديد الإرتباط بدراسة الإستقرار في النظم. أهمية دراسة الإستقرار العددي تنبع من أنه إذا كان لديك معادلة, سواء أن كانت تفاضلية أو تفاضلية جزئية أو خطية أو غيره, قد يكون من الممكن حلها تحليليا (عن طريق الورقة و القلم و اختزال معادلات و تطويعها إلخ) و لكن المشكلة تتمثل في حال أنه نريد حلها عن طريق الحاسوب.

فهرس

إشكاليات حل المعادلات بالحاسوب

تتمثل أهم إشكاليات حل المعادلات الرياضية في الحاسوب في مشكلتين:

هذه الأخطاء إن تراكمت أثناء عملية حل المعادلة فإنه يمكن أن نتحصل على حل خاطئ تماما و لا يتطابق مع الحل الحقيقي للمعادلة.

مبرهنة لاكس

تقول مبرهنة لاكس أنه إذا:

فإن حل المعادلة بهذه الطريقة يعطي الحل الصحيح أو بالأحرى أن الحل العددي يتوق نحو أو يتجه نحو الحل الصحيح (convergence)

الإستقرار العددي

و كما نرى من المبرهنة أعلاه فإن الإستقرار العددي لطريقة حل المعادلة لازم حتى يكون الحل العددي أي نتيجة الحاسوب تساوي النتيجة التحليلية الصحيحة أو على الأقل حتى نضمن حد معين من تطابق الحل العددي و الحل التحليلي.
تعتبر طريقة ما لحل معادلة, طريقة مستقرة عدديا إذا كانت الأخطاء المذكوره أعلاه أي الأخطاء المرتبطة بمحدودية ذاكرة الحاسوب زائد الخطئ الناجم عن استعمال تقريب لبعض العمليات, إذا كان هذا الخطئ يصبح خلال عملية حل المعادلة أصغر فأصغر. أي أن خوارزمية حل المعادلة تعتمد على إعادة نفسها و في كل إعادة يصبح الخطئ أصغر. و في ما يلي مثال ندرس فيه الإستقرار العددي و نبين فيه بعض ما ذكرناه أعلاه. و لكن قبل ذلك سنذكر بعض التقريبات لعمليات رياضية.

تقريب لعملية الإشتقاق

تتم عادة في الرياضيات تعريف الإشتقاق أو التفاضل كما يلي:
\dot{f(x)}=f(x)^{'}=lim(\Delta x \rightarrow 0)\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
و لذلك يمكننا إذا كانت قيمة Δx صغيرة جدا أن (و إن لم تكن صفرا) نعتبر عملية الإشتقاق تنفذ تقريبا بتطبيق المعادلة التالية:
\dot{f(x)}=f(x)^{'}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
(يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب الإشتقاق و هي ليست الوحيدة)

تقريب لعملية التكامل

كما يمكن التعبير عن التكامل كما يلي:
F(x)=\int{f(x)dx}= lim (n \rightarrow \infty \wedge \Delta x \rightarrow 0)\sum^{n}f(x)\Delta x
و في حال أن Δx صغيرة القيمة فأنه يمكن التعبير عن التكامل تقريبيا عن طريق المعادلة التابية:
F(x)=\int{f(x)dx}=\sum^{n}f(x)\Delta x
(يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب التكامل و هي ليست الوحيدة)

مثال لدراسة الإستقرار العددي

الخلو من التناقض

مثال تطبيقي لمبرهنة لاكس