مفتاح الحساب/المقالة الثانية/الباب السادس

أما أفراد الكسر المعطوف والمستثنى فيحصل بالجمع والتفريق وسنذكرهما وإذا كان الاستثناء أكثر من مرة واحدة فننقص مجموع الأزواج من مجموع الأفراد، وأما أفراد الكسر المضاف فيحصل بأن نضرب الكسر في الكسر ونضع الحاصل مكان الكسر ونضرب المخرج في المخرج ونضع الحاصل مكان المخرج ثم نردهما إلى أقل عددين على نسبتهما إن لم يكونا منه مثاله أردنا أفراد ثلثة أرباع خمسة أسداس وضعناه هكذا

ضربنا الثلاثة في الخمسة حصلت خمسة عشر وضعناها مكان الكسر ثم ضربنا الأربعة في ستة حصلت أربعة وعشرون وضعناها مكان المخرج هكذا

ولانهما مشتركان في الثلث ودرناهما إليه فصار ثلاثة أثمان هكذا

وإن زادت الاضافة عن الاثنين فنضرب الكسور بعضها في بعض الحاصل الاخير مكان الكسر ونضرب المخارج بعضها في بعض ونضع الحاصل الاخير مكان المخرج

وأما أفرد الكسر المنكسر فالانكسار يكون أما في الكسر وحده والعمل فيه أن نجنس الكسران احتيج إليه ونضعه موضع الكسر ونضرب المخرج في المخرج ونضعه موضع المخرج فزدهما إلى أقل عددين يكونان على تلك النسبة إن لم يكونا منه مثاله ثلاثة وخمس من ستة هي واحد وضعنا على هذه الصورة

وجنسنا الثلاثة والخمس حصل ست عشر وضعناها مكان الكسر وضربنا المخرج الأصلي الذي هو ستة في مخرج الكسر الذي هو خمسة حصل ثلاثون وضعناه مكان المخرج هكذا

وبعد الرد إلى أقل عددين هكذا

وهو المطلوب وأما في المخرج وحده فالعمل فيه أن نجنسه ونضعه مكان المخرج ثم نضرب الكسر في مخرج المخرج ونضع الحاصل مكان الكسر ثم نردهما إلى أقل عددين على تلك النسبة إن لم يكونا منه

مثاله أربعة من سبعة وربع هما واحد وصورتها هكذا

فجنسنا السبعة والربع وفصارت تسعة وعشرون وضعنا مكان المخرج وضربنا الأربعة التي هي الكسر في الأربعة التي هي مخرج المخرج حصل ست عشر وضعنا مكان الكسر هكذا

وهو المطلوب ولا يمكن في هذا النوع ما لم يحتج فيه إلى التجنيس وإما في الكسر والمخرج كليهما فنجنس ما نحتاج إليه ثم نضرب كسر الكسر في مخرج المخرج ونضع الحاصل مكان الكسر ونضرب مخرج الكسر في كسر المخرج المخرج ونضع الحاصل مكان الكسر ونضرب مخرج الكسر في كسر المخرج ونضعه مكان المخرج مثاله ثلاثة ونصف من أربعة وثُلثين صورته هكذا

وبعد التجنيس هكذا

ضربنا كسر الكسر الذي هو سبعة في مخرج المخرج الذي هو ثلاثة وضعنا الحاصل مكان الكسر وضربنا مخرج الكسر وهو اثنان في كسر المخرج وهو أربعة عشر ووضعنا الحاصل مكان المخرج هكذا

فهما مشتركان في السبّع فرددناهما إليه حصل

وهو المطلوب مثال آخر نصف واحد من اثنين وثلث وضعنا هكذا

فجنسنا المخرج فصار هكذا

ثم ضربنا كسر الكسر في مخرج المخرج ووضعنا الحاصل مكان الكسر وضربنا مخرج الكسر في كسر المخرج ووضعنا الحاصل مكان المخرج حصل هكذا

وهو المطلوب وإذا اردنا أفراد ما كان مركباً من أجزاء مركبة فنفرد كل واحد من أجزائه أولاً ثم نفرد الحواصل مثاله أردنا أفراد اثنين وربع من خمسة وأربعة أخماس هي اثنان ونصف من أربعة مستثنى من المجموع واحد وثلثان من ثمانية صورته هكذا

فبدأنا بافراد المستثنى منه وهو مضاف منكسر من الجزئين إي المضاف والمضاف إليه وجزءُه الأول منكسر الكسر والخرج وجزء الثاني منكسر الكسر فقط فافردنا الجزء الأول ووضعنا موضع المضاف ثم أفردنا الجزء الثاني ووضعناه مكان المضاف إليه صار كذا

وهو كسر مضاف فافردناه صار هكذا

ثم افردنا المستثنى حصل هكذا

نقصناه من المستثنى منه بعد توحيد المخرجين وبعد التفريق رددناهما إلى أقل عددين على نسبتهما فصار هكذا

وهو المطلوب