رقائق الحقائق في حساب الدرج والدقائق/الباب الثامن

في معرفة أمور تتعلق بالقسمة من تتمات وتحسينات واختصارات منها أنا ذكرنا في الطريقة المتقدمة العامة أنك تطلب في مرفوع الجدول ومنحطة ما يقارب المقسوم مما هو أقل في القسم الثالث وما يقاربه أو يساويه في القسم الرابع وتأخذ ما يحاذيه من عدد الطول وتضربه في المقسوم عليه فإن ساوى حاصلة المقسوم فالجواب أقل من المأخوذ فاتركه وخذ أقل منه، فإن زاد الحاصل الثاني أيضاً فخذ أقل من الثاني وهكذا كما في و ل مح على جـ يه كد يخرج ب فربما يقع المطلوب بعيداً وذلك إذا كان المقسوم مفرداً أو اعلا مراتبه كثيراً وأعلا مراتب المقسوم عليه قليلا وثاني مراتبه كثيراً كما في ن على أ م فان المطلوب فيه بعيدا وذلك وأنت خبير بأن المرتبة الثانية كسر من الاولى دائماً فانسبها منها يكن في مثالنا ثلثين وابسط الاولى من جنس الكسر يكون بسط المجموع خمسة أثلاث فانظر إلى خمس المقسوم وهو ن تجده ي وهو ما يخص كل ثلث فالذي يخص الواحد الكامل ل هو الجواب فإذا ضربتها في أ م يخرج ن وفي قسمة لجـ على ب مه يخرج يب لأن بسط المقسوم فيخص الواحد الكامل يب فلو قسمت ن ل على أ م خرج ل يح لأن بسط المقسوم عليه خمسة اثلاث يخص كل ثلث منها عشرة وعشر وهو ي و وربما عسرت هذه الطريقة جدا في بعض المسائل فتستعمل الطريقة الاولى ومرجع هذا كله وأمثاله الصحيح وللذوق السليم والملكة في الحساب ففي ب يجـ ك على ب م يخرج ن منحطا وفي ب ؛ مه على ب ما يخرج مه منحطا ومنها أن بعد قسمته الدقائق لا فايدة في قسمة غيرها غالباً فلو قسمناً م درج على ك ل درج ودقائق خرج أ نز كذلك ويفضل دقيقة واحدة وثلاثون ثانية لا حاجة إلى قسمة ذلك ولو قسمنا ح م ن ثوان على جـ يه كد مثلها خرج أ هـ يح جـ وفضل م نو روابع ولا يحتاج في هذا المثال أكثر من أ هـ يح جـ وفضل م نو روابع ولا يحتاج في هذا المثال أكثر من أ هـ يح والأولى في مثل هذا المثال أن يقسم الفضلة الاولى على درج المقسوم عليه ودقائقه فقط بعد حذف ثوانيه أو جبرها إلى الدقائق ويكتفي بذلك وأن اردت قسمة الفضلة الثانية ايضاً فتقسمها على درج المقسوم عليه فقط بعد جبر دقائقه أو حذفها ولا تأثير لذلك ولا كثير فائدة من زيادة التدقيق ومنها أن القسمة على المركب تتنوع بحسب المقسوم عليه ثلاثة أنواع مطلقاً سوا كان المقسوم مفردا أو مركبا وذلك أن المقسوم عليه أما أن يكون اعلا مراتبه أكثر من واحد وإما أن يكون اعلا مراتبه واحدا وهو مرتبتان فقط وإما أن يكون اعلا مراتبه واحداً وهو أكثر من مرتبتين والطريق السابق في الباب السابع عامة في الأنواع الثلاثة ويختص كل من الثاني والثالث بطريقة ثانية حسنة اسهل من الطريقة العامة.

أمّا النوع الثاني اعني إذا كان المقسوم عليه مرتبتين فقط وأعلاها واحد فطريقة أن تفتح جدول المرتبة الثانية وتنظر في مرفوع الجدول ومنحطة عددا إذا زدت على مرفوعه ما يوازيه من عدد الطول ساوي حاصله المقسوم فالذي وجدته من عدد الطول وحده هو الجواب ففي ن على أ يه يخرج م وفي مب ل على أ كه يخرج ل وطريق تخمينه أن تطلب في عدد الطول ما يساوي مرفوع المقسوم فتجمعه إلى ما يوازيه من مرفوع الجدول فتجده زايدا ضرورة فتنقصه بيتاً بيتاً إلى أن تجد المطلوب فإن لم تجد ما يساوي المقسوم فانظر ما يقاربه مما هو أقل منه وإن كان بإزائه في منحط الجدول عدد فاعتبره كسراً منه وأثبت ما تجده من عدد الطول وحده تحت الخط ثم اطرح المجموع من المقسوم ثم انظر ما يساوي الباقي في منحط الجدول ومرفوعه مع ما يقابله من عدد الطول كما تقدم واضف الذي من عدد الطول وحده إلى ما ثبته اولا على ما سبق في الباب قبله فهما الجواب، فلو فضل عدد مفرد فاعتبره مرفوعاً واطلب ما يساويه أو يقاربه في مرفوع الجدول مع ما يحاذيه من عدد الطول ففي ك م على أ ك يخرج يه ل فإن لم يساوه وفضل من الباقي شيء آخر فافعل به كذلك حتى ينتهي الفاضل وإن كان بإزائه في منحط الجدول شيء فاعتبره كسراً منه كما مر ففي م ل على أ ك يخرج ل كب ل ومتى كان المقسوم في هذا النوع أقل من المقسوم عليه في الكم كما إذا كان المقسوم عليه أ كه والمقسوم أ ح لم تجد في مرفوع الجدول ومنحطة بعد زيادة ما بإزائه من عدد الطول ما يساوي المقسوم ولا ما يقاربه مما هو أقل ابدا وإنما تجد أكثر لإن أقل شيء في الجدول مساو للمقسوم عليه والغرض أنه اكثر فالطريق فيه أن تبسط الواحد ستين وتجمعه إلى منحطه إن كان يصير في مثالنا سح ثم اطلب ما يساوي هذا المجموع أو ما يقاربه بشرطه من منحط الجدول ومرفوعه مع ما يوازيه من عدد الطول فالذي من عدد الطول وحده هو الجواب منحطاً هذا إن كنت وجدت ما يساوي المجموع وهو في مثالنا مح وأن كنت وجدت ما يقاربه مما هو أقل كما إذا كان المقسوم أ يح على أ ك فاثبت الذي من عدد الطول وهو في هذا المثال نح منحطاً ثم اطرح الجملة من المقسوم وهو عح وافعل بالباقي كما عرفت وهو في المثال م يخرج ل فلو فضل شيء آخر فافعل به كذلك إلى أن ينقسم أو يبلغ ادق كسر تريد ولو كان المقسوم أكثر من المقسوم عليه ولكن فضل منه رتبتان اعلاهما واحد وهما أقل من المقسوم عليه أو فضل واحد فقط فأفعل بالفاضل كما تقدم يحصل المطلوب كما في ما يه على أ ك تجد من عدد الطول ل يفضل أ يه صيرها عه ثم انظر في الجدول تجد نو يفضل ك تنظرها في أول الجدول تجد يه فيكون الجواب ل نو يه فلو قسمنا مد على أ كو خرج ل ما نا ثم فضل ند ثوالث تركناها لعدم الفائدة واعلم أن قد يفضل من المقسوم فضلة ويفضل من الفضلة أخرى ثم أخرى كذلك إلى ما لا نهاية له كما في قسمة مد ن على أ كه درج ودقائق على مثلها فيخرج لجـ مه نب كو كح يد زح لا مه نب نو كح يد ز جـ خوامس عشر ثم لا ينقطع افضلية ابدا وإنما يتكرر من هذا الباب ثمان مراتب دائماً أولها لا وآخرها جـ مرة بعد أخرى إلى ما لا نهاية له وأكثر ما يحتاج في هذا المثال إلى لجـ مه نب ثوان والبواقي ولعناً بها تمريناً للطالب ومثله أ يح على أ كه يخرج ؛ نه جـ لا مه نب نو كح يد ز جـ عواشر ثم تكرر الثمانية الاخيرة إلى ما لا نهاية له، والله أعلم بالصواب.

النوع الثالث اعني إذا كان المقسوم عليه ثلاث مراتب فأكثر واعلا واحد فطريقة أن تفتح جدول عدد أقل من المقسوم بواحد إن كان المقسوم عليه وقابل بحاصله المقسوم فإن ساواه فالمضروب هو الجواب كما في ي على أ و م يخرج ي فإن زاد وهو الغالب فخذا أقل منه فإن زاد أيضاً فخذ أقل منه إلى أن يساويه فالذي أخذته أخيراً هو الجواب كما في ك على أ و م يخرج يح، أو ي على أ كو م يخرج ط، وكمل في ل له على أ لا مه يخرج ي، وفي كا أ م على أ جـ هـ يخرج أيضاً ي، وفي يط لح م على أ ل م يخرج يجـ، وإن نقص حاصل الضرب عن المقسوم فأسقطه منه بعد أن تثبت المضروب ثم أفتح جدول اعلا مراتب الباقي إن كان مركباً وأقل منه بواحد إن كان منفرداً وافعل كما تقدم إلى أن يساويه أو يفضل شيء دقائق فالخارجات هي الجواب كما في هـ على أ ب ل يخرج د مح، فلو كان المقسوم عليه بحاله والمقسوم ي كان الخارج ط لو، ولو كان يه كان يد كد، ولو ك كان يط يب، ولو كان ل كان كح مح، ولو كان م كان لح كد، وكما في هـ يز يه على أ د ي يخرج هـ و ،وفي د و كد ما على أ ؛ ك يخرج د هـ جـ، ومتى كان المقسوم أقل من المقسوم عليه بإن كان أ أو اعلا مراتبة أو ثانيها أقل من ثاني المقسوم عليه فابسطها س ثم أكمل العمل كما تقدم ففي أ على أ ب ل يخرج ؛ نز لو منحطاً وقس على ذلك وإذا تأملت هذه الطريقة وجدتها هي الطريقة العامة بعينها فتجري في النوع الثاني أيضاً والله أعلم.