حساب التفاضل والتكامل ( Calculus )

---

حساب التفاضل والتكاملحساب التفاضل والتكامل أحد فروع الرياضيات. يقوم الطلاب بدراسته في الجامعات والمعاهد العليا بعد أن يكونوا قد تمكنوا من دراسة الجبر، والهندسة المستوية، وحساب المثلثات، والهندسة التحليلية. ويطلق علماء الرياضيات اسم حساب التفاضل والتكامل على هذا الفرع من الرياضيات لتمييزه عن طرق الحساب الأخرى.

يتعامل حساب التفاضل والتكامل مع الكميات المتغيرة. فعلى سبيل المثال، تخيل أن طائرة ما تطير بسرعة ثابتة مقدارها 1,000كم /ساعة. تقطع هذه الطائرة 1,000كم في ساعة واحدة و2,000كم في ساعتين و3,500كم في ثلاث ساعات ونصف. من الجبر نستطيع أن نستنبط القاعدة التالية التي تعطينا المسافة (ف) بالكيلومترات التي تقطعها الطائرة في زمن مقداره ن/ساعة: ف = 1,000ن. ولكن لنفرض الآن أن الطائرة لاتطير بسرعة ثابتة نتيجة لظروف الرياح وعوامل أخرى. عندئذ لن تبقى مسألة التنبؤ بالمسافة التي تقطعها الطائرة في أي فترة معينة من الزمن مسألة في الجبر، بل تصبح مسألة تحل بوساطة حساب التفاضل والتكامل.

لحساب التفاضل والتكامل فرعان رئيسيان هما: حساب التفاضل وحساب التكامل. والقضية الأساسية في حساب التفاضل هي إيجاد معدل تغير كمية معلومة في حالة تغير. أما في حساب التكامل، فنبحث في القضية العكسية، أي نحاول إيجاد الكمية من معرفة المعدل الذي تتغير به.

على سبيل المثال، تخيل رجلاً يطوف في سفينة فضاء بالقرب من كوكب ليس له غلاف جوي. فإذا تركت كرة لتسقط من السفينة، فإنها ستقع في اتجاه الكوكب بسبب الجاذبية. وباستخدام آلاته، قد يجد الرجل أن المسافة ف التي تسقطها الكرة في ن ثانية من إطلاقها تعطى بالقاعدة: ف = 7 ن². ويلاحظ مثلاً أن الكرة تسقط مسافة 7 م في ثانية واحدة، و 28 م في ثانيتين، و 700 م في 10 ثوان. إن الكرة لاتسقط بسرعة ثابتة.

غير أن رجل الفضاء يرغب في معرفة سرعة الكرة في أية لحظة. وباستخدام حساب التفاضل، يستطيع أن يستنبط القاعدة: ع = 14 ن، حيث ع هي سرعة الكرة بالأمتار في الثانية بعد إسقاطها بمدة قدرها ن ثانية. ومن ثم، تكون سرعة الكرة 14 م في الثانية بعد ثانية واحدة، و 28 م في الثانية بعد ثانيتين، و140 م في الثانية بعد عشر ثوان. ومن القاعدة ع = 14 ن يستطيع رجل الفضاء أن يستنتج باستخدام حساب التفاضل ـ مرة أخرى ـ أن للكرة تسارعاً ثابتاً مقداره 14 م في الثانية، في الثانية (تكتب 14م/ثانية/ثانية) أي أنه في كل ثانية، تزيد سرعة الكرة 14متراً في الثانية (14م/ثانية).

ولو كان رجل الفضاء يعلم أن تسارع الكرة نتيجة لقوة الجاذبية هــو (14م/ثانية / ثانية)، لأمكنه باستـخـدام حسـاب التكامل أن يثبت أن القاعدة التي تعطي سرعة الكرة هي ع = 14 ن، وأن القاعدة التي تعطي المسافة التي تسقطها الكرة هي ف = 7 ن².

أهمية حساب التفاضل والتكامل

منذ نشوء وتطور حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر الميلادي، نما علم الرياضيات نمواً كبيراً وبخطوات واسعة. فقد تم استحداث طرق جديدة بوساطة حساب التفاضل والتكامل كان لها عظيم الأثر في تحفيز هذا النمو.

ويستخدم حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء ومعظم فروع العلوم وجميع فروع الهندسة لإثبات النظريات، ولحل المسائل العلمية. فلكي يتمكن مصمم طائرات من تصميم جناح لطائرة، على سبيل المثال، فإنه يستخدم مبادئ الديناميكا الهوائية، أحد فروع الفيزياء. وبفضل المعادلات الرياضية، يستطيع معرفة ردود فعل الجناح تحت مختلف الظروف. وحساب التفاضل والتكامل هو الذي يزود المصمم بإمكانية استخلاص هذه المعادلات من مبادئ الديناميكا الهوائية.

حساب التفاضل

الدوال: أحد المواضيع التي يتناولها حساب التفاضل والتكامل، والدالة مثل الصيغة وكل صيغة رياضية هي تعريف لـدالة. وبالدالة (د)، يعني عالم الرياضيات أن ارتباطًا يلحق بكل عدد (ن) عدداً ما يمثل بالرمز د (ن). فالقاعدة ف = 7 ن²، على سبيل المثال، تربط بكل عدد (ن) عدداً ما . وإذا استخدمنا (د) لنميز هذه الدالة، فإن د (ن) = 7 ن². وعلى هذا فإن:

معدل تغير الدالة: هو جوهر حساب التفاضل. فإذا كانت د (أ)، د(ب) قيمتين للدالة د، فإن د(ب) - د(أ) هو التغير في د، الناجم عن الانتقال من أ إلى ب، في العدد الذي نقيم عنده د. ويكـون متوسط معدل تغير د بين (أ) و(ب) على النحو التالي:

ففي الدالة د (ن) = 7 ن²، على سبيل المثال، يكون التغير في (د) من ن = 2 إلى ن = 10 هو (د) (10) - د (2) = 700 - 28 = 672، ويكون متوسط معدل تغير (د) بين 2 و 10 هو:

وفي مسألة الكرة التي تركت لتسقط من سفينة الفضاء يمثل الفرق د (10) - د(2) المسافة التي تسقطها الكرة في ثماني ثوان بدءاً بثانيتين بعد إسقاطها. وهكذا نرى أن الكرة تسقط 672م في هذه المدة. وفي مثل هذا المثال حيث ن يمثل الزمن و د(ن) هي المسافة، يُسمي العلماء معدل تغير (د) السرعة. وبمقتضى العملية الحسابية التي أجريناها آنفا، يكون متوسط سرعة الكرة في مدة الثواني الثماني المعطاة 84م/ثانية.

النهايات: لنفرض أن متوسط سرعة طائرة نفاثة في رحلة ما 1100 كم/س. فإذا أردنا أن نعرف سرعة الطائرة في أية لحظة من رحلتها، فلن تكفينا معرفة متوسط السرعة بل نحتاج لإجراء حسابات أخرى.

وبالمثل، فإن معرفة متوسط معدل تغير دالة في فترة ما لايخبرنا إلا بالقليل عن معدل تغير الدالة في أية لحظة، وهو مايعرف باسم المعدل اللحظي للتغير. غير أن فكرة النهاية تمكننا من إيجاد المعدل اللحظي للتغير، وهذه هي إحدى الأفكار الأساسية في حساب التفاضل.

لنأخذ بعين الاعتبار القاعدة ف = 7 ن² التي تعطي المسافة التي تسقطها الكرة بالقرب من الكوكب حسب وصفنا السابق. فإذا كان متوسط سرعة الكرة في الفترة بين ثانيتين و ن ثانية من إسقاطها هو ع (ن)، فإن ع (ن) تعطي:

ويبين الجدول التالي متوسط سرعة الكرة من الثانية 2 إلى الثانية ن عندما تقترب ن أكثر فأكثر من 2.

ن 10 8 4 3 5,2 1,2 2,01 2,001 ع(ن) 84 70 42 35 31,5 28,7 28,07 28,007

وإذا تساءلنا عن القيمة التي يقترب منها متوسط السرعة عندما تصبح ن قريبة من 2، فإن الإجابة هي 28 كما نرى من الجدول بوضوح. وفي حساب التفاضل، نصف هذا الأمر بالقول: إن نهاية (نها) ع (ن) عندما تقترب ن من 2 هي 28م/ثانية. أي كلما ازدادت ن قربا من 2، صار متوسط السرعة أكثر قرباً من 28م/ثانية. والسرعة اللحظية للكرة بعد إسقاطها بثانيتين هي 28 م/ثانية. وفي حساب التفاضل نكتب هذه الحقيقة على النحو التالي:

وبصفة عامة، فإن المعدل اللحظي لتغير دالة (د) عند العدد (أ)، يعرف على النحو التالي :

المشتقات: المعدل اللحظي لتغير دالة من الأهمية بمكان، ولذا أفرد له الرياضيون اسمًا خاصًا هو المشتقة. ومن أكثر الصيغ استخدامًا للرمز لمشتقة (د) عند (أ)، الصيغة دَ ( أ )، وتقرأ ¸ د شرطة· أ، غير أن هناك أشكالاً أخرى منها حيث ص = د (س). إن المشتقة تعرف بالتالي:

وتحوي جميع كتب حساب التفاضل والتكامل عددًا من القوانين لإيجاد مشتقات الدوال الشائعة. وأحد أكثر هذه القوانين فائدة يبين كيفية إيجاد المشتقة لدالة قوة مثل

وهذا هو القانون الذي توصل بمقتضاه رجل الفضاء إلى معرفة سرعة الكرة الساقطة. فمن د(ن) = 7 ن² وجد أن:

دَ(ن) = 7 × 2ن¥ = 14ن. ومن ثم فإن ع = 14ن هي القاعدة التي تعطي سرعة الكرة في أية لحظة ن بعد بداية سقوطها.

حساب التكامل

يحدد الشغل في الفيزياء بالقاعدة ش = ق ف حيث ش هو الشغل بالنيوتن متر، ق هي قوة ثابتة، وف هي المسافة التي تعمل عبرها القوة. فإذا كنا نحتاج لقوة مقدارها 50 نيوتن لدفع صندوق مسافة 20 م عبر حجرة، فإن الشغل المبذول يكون 20 × 50 أو 000ر1 نيوتن متر. أما إذا كانت القوة تتغير أثناء دفع الصندوق، فإن القاعدة ش = ق ف تصبح غير صالحة للتطبيق. فمثلا لانستطيع استخدام هذه القاعدة لو كان الصندوق يدفع بقوة متزايدة دائما. ولكن بمقدورنا أن نحسب الشغل المبذول باستخدام حساب التكامل.

ويوظف حساب التكامل لحل العديد من المسائل في الهندسة، حيث يستخدم لحساب مساحات المناطق المحدودة بمنحنيات. وإيجاد مثل هذه المساحات أمر أساسي في حساب التكامل لأنه يعيننا على حل العديد من المسائل، بما فيها إيجاد الشغل المبذول بقوة متغيرة.

إيجاد المساحات:

في الرسم أدناه المنحنى ب د جزء من قطع مكافئ، أي الشكل المستخدم في عاكسات مصابيح السيارات ومرايا المجاهر.

لنفرض أننا نريد حساب مساحة المنطقة ب د جـ المحصورة في أحد جوانبها بالمنحنى ب جـ. تتمثل إحدى طرق إيجاد مساحة ب جـ د بالتقريب، في رسمها على أوراق رسم بياني ذات أبعاد مختلفة كما في الرسوم التالية:

في الرسم العلوي على اليسار، نفترض أن البعد بين أي مستقيمين متجاورين هو 1 سم، وأن مساحة المربع 1سم². وفي الرسم العلوي على اليمين، نفترض أن كل مستقيم يبعد ½ سم عن المستقيم الذي يليه، وأن مساحة كل مربع هي ¼ سم. أما في الرسم الأسفل فإن المسافة بين المستقيمين المتجاورين هي ¼ سم ومساحة كل مربع تساوي 1/16 سم².

في الرسم على اليسار، تغطي المنطقة ب ج د ثلاثة مربعات، ويتبقى جزء من المساحة. لذا تكون مساحة ب جـ د على الأقل 3 سم².

في الرسم على اليمين، تغطي المنطقة ب جـ د 16 مربعًا ويتبقى منها جزء. وبما أن مساحة كل مربع في الرسم البياني هي سم²، فإن مساحة ب ج د لن تقل عن 4سم².

أما في الرســـم الأســفل فنســتطيع حساب 74مربعاً صغيراً مساحة كل منها 1/16 سم² وهكذا فإن مساحة ب جـ د لن تقل عن 5/8 4سم²، وإذا واصلنا رسم المنطقة على أوراق بيانية تتناقص فيها مساحات المربعات فسنحصل على تقريب أفضل للمساحة الفعلية.

وفيما يلي، نقدم طريقة لتقريب المساحة ب جـ د تختلف قليلاً عن الطريقة المذكورة أعلاه.

لنقســـم القطعــة المستقيمة جـ د إلى ثـمانية أجـزاء متساوية، كل منها طوله ½ سم. فعن طريق الهندسة نستطيع أن نثبت أن ارتفاع النقطة على القطـع المكافئ فــوق المـســتـقيم جـ د عند النقطة التي تبعد س سم عن جـ هو ، ومن هذا نجد أن ارتفاعات المستطيلات الثمانية المرسومة داخل المنطقة ب جـ د هي: صفر، 1/4 ، 1/16، 9/16،25/16

، ومجموع مساحات هذه المستطيلات هو :

وهكذا نثبت، باستخدام طريقة تقسيم المساحة إلى مستطيلات، أن المساحة ب جـ د تزيد على 4سم²

وإذا قسمنا القطعة [جـ د] إلى ن من الأجزاء متساوية الطول، حيث ن عدد صحيح موجب، فإن طول كل منها يكون سم². وإذا رسمنا ن مستطيلا ًداخل المنطقة ب جـ د كما فعلنا في الحالة ن = 8، فإن مجموع مساحات المستطيلات ح ن يعطي بالتالي :

حيث تشير النقاط في هذه المعادلة إلى أنه قد تكون بعض الحدود لم تبرز صراحة. فعلى سبيل المثال، لو كانت ن = 100 فإنه ينبغي أن تحتوي المعادلة 95 حداً آخر

وبوساطة الجبر، نستطيع أن نثبت أن:

وعندما تتزايد قيمة ن في هذه المعادلة، تتناقص قيمة كل من الحدين الأخيرين، ولذا يقول علماء الرياضيات إن نهاية حن عندما تقترب ن من اللانهاية ( ) هـــي ويعبرون عن ذلك كما يلي:

وبما أن ح ن يقترب أكثر فأكثر من مساحة ب جـ د كلما تزايدت قيمة تن، فإن ح ن عندما تقترب ن من اللانهاية هي مساحة المنطقة ب جـ د بالضبط. وهكذا تكون مساحة ب جـ د هي 16/3 أو 1/3 5 سم².

وباستخدام هذه المعلومة، نستطيع أن نحسب المساحة ب جـ أ. فنحـن نعلـم أن مساحـة المربـع ب د جـ أ هي 16 سـم²، ومن ثـم، فإن مساحـة المنطـقة ب جـ أ تسـاوي16 - 16/3 سم² أي 32/3 سم².

التكامل المحدود:

بطريقة مماثلة لتلك المستخدمة في المثال الأخير، نستطيع أن نحسب مساحات مناطق أكثر عمومية كالمنطقة أ ب د جـ الموضحة في الرسم أدناه.

من الممكن تقريب مساحة أ ب د جـ برسم مستطيلات بداخلها كما فعلنا في حالة القطع المكافئ، فنجزئ القطعة [جـ د] إلى أربعة أجزاء متساوية بوساطة النقاط س0، س1، س2، س3، س4.

ونعرف ارتفاع كل مستطيل بوساطة الدالة د (س) التي تعين ارتفاع المنحنى عند النقطة التي تبعد س وحدة عن جـ، فتكون ارتفاعات المستطيلات هي د (س1)، د (س2)، د (س3)، د(س4). ولذا عند رسمنا أربعة مستطيلات لها القاعدة نفسها يكون مجموع مساحاتها هو ح4 حيث

فـــي هــذه المعــادلة، يساوي الرمز D س الذي ينطق دلتا س ف/4 طول كل قاعدة .

أما إذا قسمنا القطعة [جـ د] إلى ن جزءاً متساوياً بالنقاط س.، س1، ، س ن ورسمنا ن مستطيلاً داخل المنطقة أ ب جـ د، فإن مجموع مساحاتها حن يعطى بالمعادلة التالية :

ومن الواضح أن المجموع ح ن تقريب للمساحة أ ب جـ د، وأنه كلما تزايدت قيمة ن، تقاربت قيمة ح ن من المساحة الفعلية للمنطقة أ ب جـ د. والمساحة الفعلية ح هي نهاية ح ن عندما تقترب ن من مالا نهاية.

أي أن ح هي العدد الذي تقترب منه قيمة حن. وعندما نقسم الفتــرة إلى عدد أكبر من الأجزاء تتزايد قيمة ن، وتتناقص قيمة D س .

وتسمى نهاية حن عندما تقترب ن من مالا نهاية التكامل المحدود للدالة د من صفر إلى ف. ويكتب على النحو التالي :

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

إذا أعطينا أي دالة ص على الفترة بين أ و ب حيث أ أقل من ب، فبإمكاننا أن نقسم القطعة بين أ و ب إلى ن جزءا متساوياً، ونشكل ح ن كما فعلنا قبل قليل. وتسمى نهاية ح ن عندما تقترب ن من مالا نهاية التكامل المحدود للدالة ص من أ إلى ب. وتكتب على النحو التالي :

ويرتبط تكامل ومشتقة الدالة بوساطة النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والتي تنص على أن.

حيث هـ أي دالة تساوي مشتقتها الدالة ص. وعلى سبيل المثال، إذا كانت ص (س) = 1/12 س§ هو دالة ارتفاع القطع المكافىء التي درسناها سابقا، فإن هـ (س)= س3 هي إحـــدى الدوال التي تساوي مشتقتها ص، وذلك لأن هَـ (س) = 1/12 × 3 س2 = 1/4 س2 = ص (س). ومن خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، نستنتج أن :

وهذه هي مساحة المقطع ب جـ د تحت المقطع المكافئ

نبذة تاريخية

ظهرت أولى أفكار حساب التفاضل والتكامل في أعمال الرياضي الإغريقي المشهور أرخميدس الذي قام بوضع العديد من القوانين في الهندسة، مثل حجم ومساحة سطح الكرة، مستخدماً في ذلك طرقا كانت بداية لتلك الطرق المستخدمة اليوم في حساب التكامل.

وفي القرنين السادس عشر والسابع عشر الميلاديين، شغل العديد من علماء الرياضيات بمسائل تتطلب حساب التفاضل والتكامل، حتى قام كل من إسحاق نيوتن وغوتفريت لايـبنـيز، كل على حدة، باكتشاف النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. وبسبب هذا الاكتشاف، يطلق عليهما اسم مؤسسي علم حساب التفاضل والتكامل.

انظــر أيضا: نيوتن، السير إسحق ؛الرياضيات ؛لايبنيز، غوتفريت فلهلم.