المتكررة الهندسية ( Fractal )

نبتة كوخ الثلجية متكررة هندسية تتكون من إضافة مثلثات صغيرة إلى مثلث كبير الجوانب. ويظهر الرسم أعلاه تشكيلاً لنبتة كوخ الثلجية في أربع مراحل.

المتكررة الهندسية شكل هندسي معقَّد يتألف من أنماط تكرر نفسها بأحجام أصغر فأصغر. تسمى عملية تكرار الأنماط لنفسها التشابه الذاتي وهي خاصية مهمة من خواص المتكررة الهندسية. ويقال عن شكل هندسي إن له خاصية التشابه الذاتي عندما يكون شكل أحد تركيباته الصغرى مشابهًا لتركيباته الكبرى، وهذه البنية الكبرى مشابهة بدورها لبنية أكبر منها، وهكذا دواليك.

تمثل المتكررة الهندسية معادلات رياضية. ويهتم العلماء بحقيقة أن هذه المعادلات البسيطة تؤدي إلى تكوين هذه الأشكال المعقَّدة. ساعدت المتكررة الهندسية العلماء على إيضاح السمات النظامية المستبطنة لعدة عمليات في الطبيعة. ومن الأمثلة الطبيعية على المتكررة الهندسية نبات السرخس، إذ تتألف كل نبتة من أوراق لها شكل النبتة نفسها، وتتألف كل ورقة بدورها من أوراق أصغر لها شكل نبتة السرخس نفسها. وهناك الكثير من النباتات الأخرى لها شكل المتكررة الهندسية مثل القنبيط والبَرْكولي. كما أن شكل الأوعية الدموية للقلب هو أيضًا متكررة هندسية، إذ تتفرع الأوعية الكبيرة إلى أوعية أصغر، وهذه الأوعية الأصغر تتفرع بدورها إلى أوعية أصغر فأصغر.

أنماط معقدة من متكررة هندسية تنـتج عن أشكال تكرر نفسها إلى مالا نهاية بأحجام أصغر فأصغر. أنتج هذه الصورة الملونة حاسوب متطور.

وهناك نوعان من المتكررات الهندسية: المتكررة الهندسية المنتظمة، والمتكررة الهندسية العشوائية. تتألف المتكررة الهندسية المنتظمة من تراكيب صغيرة وكبيرة تكوِّن، باستثناء الحجم، نسخة دقيقة. فعلى سبيل المثال تتألف المتكررة النظامية الهندسية المعروفة بنبتة كوخ الثلجية في مجملها من مثلثات صغيرة تترتَّب على جوانب مثلثات أكبر منها.

أمَّا المتكررة العشوائية، فتكون التراكيب الصغيرة والتراكيب الكبيرة فيها متقاربة رياضيًا، لكنها قد تختلف في التفاصيل. وتُمثِّل كثيرٌ من المتكررات العشوائية أنماطًا غير نظامية موجودة في الطبيعة. فعلى سبيل المثال يمكن تمثيل الخطوط الساحلية، والجبال، والغيوم بمتكررة هندسية عشوائية. وكثير من الظواهر متكررات هندسية في الطبيعة. فالحركة البراونية مثلاً ـ وهي الحركة العشوائية لجسيم معلَّق في الماء ـ يمكن تمثيلها بمتكررة عشوائية. ومن الأمثلة الأخرى على المتكررة العشوائية نمو النباتات، ومسارات البرق، والتلامس اللزج (انتشار سائل في سائل آخر غير قابل للذوبان فيه)، مثل الزيت في الماء.

قام عالما الرياضيات الألمانيان جورج كانتور، وكارل فايرستراس خلال القرن التاسع عشر الميلادي بفحص مجموعات من المنحنيات لها خواص التشابه الذاتي. غير أن هذا العمل ظل لعدة سنوات يجد القليل من الاهتمام. ثم تجدد الاهتمام به في الستينيات من القرن العشرين، وخاصة العمل الذي قام به بينويت ماندلبروت، وهو عالم رياضيات بولندي المولد، استوطن في الولايات المتحدة عام 1958م. ابتكر ماندلبروت مصطلح المتكررة الهندسية (Fractal) عام 1975م. وقد اشتُق المصطلح من كلمة لاتينية تدل على حجر مكسور ذي سطح غير منتظم. ثم صار ماندلبروت مهتمًا بالموضوع خلال قيامه بدراسة الخط الساحلي البريطاني.

درس علماء الرياضيات الدوال الرياضية التي تشكل تمثيلاتها البيانية متكررات هندسية. ومن أشهر هذه الدوال مجموعة ماندلبروت التي مازال ماندلبروت وآخرون يدرسونها منذ أواخر سبعينيات القرن العشرين. ويستخدم العلماء الحاسوب في تمثيلاتها البيانية لأنها تحتاج عددًا كبيرًا من الحسابات. وتشكل المجموعة مكتملة، نمطًا معقدًا يعرف بـلطخة الحبر. ويستطيع الحاسوب أن يكبر مقاطع من مجموعة ماندلبروت بتمثيلها فوق حدود تتصاغر باستمرار، مظهرًا سلسلة لا نهاية لها من الأنماط المتكررة.